Question

下列四個命題中，真命題的序號是（　　）
①若a，b，c∈R，則“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要條件；
②當(dāng)x∈(0，

π

4

)時，函數(shù)y=sinx+

1

sinx

的最小值為2；
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”；
④函數(shù)f（x）=lnx+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上有且僅有一個零點(diǎn)．

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：①當(dāng)c=0時，必要性不成立．②利用基本不等式進(jìn)行判斷．③根據(jù)否命題和原命題之間的關(guān)系判斷．④利用函數(shù)的單調(diào)性和根的存在性定理去判斷．

解答：解：①若ac²＞bc²，則a＞b成立，當(dāng)a＞b，c=0時，不等式ac²＞bc²不成立，所以“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要條件，所以①正確．
②由基本不等式得y=sinx+

1

sinx

≥2

sinx• 1 sinx

=2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=

1

sinx

，即sinx=1時取等號，當(dāng)x∈(0，

π

4

)時，0＜sinx＜

2

2

，所以等號取不到，所以②錯誤．
③同時否定條件和結(jié)論得到命題的否命題為：“若|x|＜2，則-2＜x＜2”，所以③正確．
④函數(shù)f（x）=lnx+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，因?yàn)閒（1）=ln1+1-

3

2

=-

1

2

＜0，f（2）=ln2+2-

3

2

=ln2-

1

2

=ln2-ln

e

＞0，所以函數(shù)f（x）=lnx+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上有且僅有一個零點(diǎn)．所以④正確．
故答案選C．

點(diǎn)評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．