Question

已知定義在R上的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，則f（2）=

15

4

．

Answer 1

分析：根據題意，將x=2、x=-2分別代入f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2可得，f（2）+g（2）=a²-a^-2+2，①和f（-2）+g（-2）=a^-2-a²+2，②，結合題意中函數奇偶性可得f（-2）+g（-2）=-f（2）+g（2），與②聯立可得-f（2）+g（2）=a^-2-a²+2，③，聯立①③可得，g（2）、f（2）的值，結合題意，可得a的值，將a的值代入f（2）=a²-a^-2中，計算可得答案．

解答：解：根據題意，由f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，
則f（2）+g（2）=a²-a^-2+2，①，f（-2）+g（-2）=a^-2-a²+2，②
又由f（x）為奇函數而g（x）為偶函數，有f（-2）=-f（2），g（-2）=g（2），
則f（-2）+g（-2）=-f（2）+g（2），
即有-f（2）+g（2）=a^-2-a²+2，③
聯立①③可得，g（2）=2，f（2）=a²-a^-2
又由g（2）=a，則a=2，
f（2）=2²-2^-2=4-

1

4

=

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4

；
故答案為

15

4

．

點評：本題考查函數奇偶性的應用，關鍵是利用函數奇偶性構造關于f（2）、g（2）的方程組，求出a的值．