Question

“城中觀海”是近年來國內很多大中型城市內澇所致的現象，究其原因，除天氣因素、城市規劃等原因外，城市垃圾雜物也是造成內澇的一個重要原因。暴雨會沖刷城市的垃圾雜物一起進入下水道，據統計，在不考慮其它因素的條件下，某段下水道的排水量V(單位：立方米／小時)是雜物垃圾密度x（單位：千克／立方米）的函數。當下水道的垃圾雜物密度達到2千克／立方米時，會造成堵塞，此時排水量為0；當垃圾雜物密度不超過0.2千克／立方米時，排水量是90立方米／小時；研究表明，時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數。
（Ⅰ）當時，求函數V(x)的表達式；
（Ⅱ）當垃圾雜物密度x為多大時，垃圾雜物量（單位時間內通過某段下水道的垃圾雜物量，單位：千克／小時）可以達到最大，求出這個最大值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當雜物垃圾密度千克／立方米,f(x)取得最大值50千克／小時．

試題分析：（Ⅰ）當下水道的垃圾雜物密度達到2千克／立方米時，會造成堵塞，此時排水量為0；當垃圾雜物密度不超過0.2千克／立方米時，排水量是90立方米／小時說明函數圖像過，與，又因為當時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數，可設，將與代入可求出，而在，，從而得的解析式；（Ⅱ）當垃圾雜物密度x為多大時，垃圾雜物量可以達到最大，由，這是一個分段函數，分段函數的最值分段求，然后比較誰最大為誰，當，是一個一次函數，當時最大，最大值為，當，這是一個二次函數，對稱軸為，故時最大，最大值為，從而得當雜物垃圾密度千克／立方米,f(x)取得最大值50千克／小時．
試題解析：（Ⅰ）時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數，設為，將與代入得，
（6分）
（Ⅱ）
千克／小時
，
所以，當雜物垃圾密度千克／立方米,f(x)取得最大值50千克／小時。（13分）
分）