Question

【題目】設拋物線的頂點為A，焦點為F.過F作直線l與拋物線交于點P、Q，直線AP、AQ分別與拋物線的準線交于點M、N.問：直線l滿足什么條件時，三直線PN、QM、AF恒交于一點？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

當直線時，由拋物線的對稱性可知，四邊形PQMN是矩形，此時，三直線PN、QM、AF互相平行.

當直線l不與AF垂直時，建立如圖的直角坐標系.

設拋物線的方程為，

并設、.

由，得.

故，.

因為，所以，，.

由及分別得，.

故，

令y=0，則

故PN、QM與AF的交點分別為、.

于是，三直線PN、QM、AF交于一點點S和T重合

.

化簡得

將，代入上式得

即.

因為，所以，上式成立.

此時，三直線PN、QM、AF恒交于一點.

綜上所述，當直線l不與AF垂直時，三直線PN、QM、AF交于一點.