Question

設函數f（x）=x³+bx²+cx+5，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求實數c的值；
（Ⅱ）判斷是否存在實數b，使得方程f（x）-b²x=0恰有一個實數根．若存在，求b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與x軸平行，∴f'（0）=0．
又f'（x）=3x²+2bx+c，則f'（0）=c=0．
（II）由c=0，方程f（x）-b²x=0可化為x³+bx²-b²x+5=0，假設存在實數b使得此方程恰有一個實數根，則令g（x）=x³+bx²-b²x+5，只需g（x）_極大值＜0或g（x）_極小值＞0
∴g'（x）=3x²+2bx-b²=（3x-b）（x+b）令g'（x）=0，得，x₂=-b
①若b=0，則方程f（x）-b²x=0可化為x³+5=0，此方程恰有一個實根
②若b＞0，則，列表：

x	（-∞，-b）	-b
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴g（x）_極大值=g（-b）=b³+5＞0，
∴，解之得0＜b＜3
③若b＜0，則，列表：

x				-b	（-b，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴，g（x）_極小值=g（-b）=b³+5
∴b³+5＞0，解之得
∴
綜合①②③可得，實數b的取值范圍是．
分析：（I）曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與x軸平行，可得f'（0）=0．從而可求
（II）若使方程f（x）-b²x=x³+bx²-b²x+5=0恰有一個實數根．構造函數g（x）=x³+bx²-b²x+5，只需g（x）_極大值＜0或g（x）_極小值＞0，利用導數可求
點評：本題主要考查了利用函數的導數求解曲線的在某點處的切線的斜率，函數的極大（小）值的求解，還要注意方程與函數的相互轉化的思想在解題中的應用．