Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長為2的菱形，且∠BAD=120°，側棱PA⊥底面ABCD，E，F分別是側棱PB，PD中點．
（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面AEF；
（Ⅱ）若平面ABCD與平面AEF所成的二面角為60°，求PA的長．

Answer 1

分析：（I）先證線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直，然后由線面垂直證面面垂直即可；
（II）建立空間直角坐標系，設P點的坐標，求出平面AEF與平面ABCD的法向量，再根據向量坐標運算公式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵E，F分別是側棱PB，PD的中點，∴EF∥BD，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，又EF∥BD
∴EF⊥平面PAC，
∴平面PAC⊥平面AEF．
（Ⅱ）以A為原點，AD所在直線為y軸，過A垂直AD的直線為x軸建立如圖空間直角坐標系，設P（0，0，m），
則A（0，0，0），B(

3

，-1，0)，C(

3

，1，0)，D(0，2，0)，E(

3

2

，-

1

2

，

m

2

)，F(0，1，

m

2

)
平面ABCD的法向量

n1

=（0，0，1）
設平面AEF法向量

n2

=（x，y，z），
則可求得：

n2

=(-

3

2

m，-

m

2

，1)
由

n1

•

n2

=|

n1

|•|

n2

|cos60°得：m=

3

，即PA=

3

，

點評：本題考查面面垂直的判定及向量法求二面角．