Question

已知數列｛b_n｝是等差數列，b₁=1,b₁+b₂+……+b₁₀=145.

 

(1)求數列｛b_n｝的通項b_n；

(2)設數列｛a_n｝的通項a_n=log_a(1+)(其中a＞0，且a≠1)，

記S_n是數列｛a_n｝的前n項和.試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結論.

Answer 1

①設數列｛b_n｝的公差為d，由題意得

解得           ∴b_n＝3n－2?

 

②由S_n＝3n－2知?

S_n＝log_a（1＋1）＋log_a（1＋）＋…＋log_a（1＋）

＝log_a［（1＋1）（1＋）（1＋）…（1＋）］log_ab_n＋1

＝log_a

因此要比較S_n與log_ab_n＋1的大小，可先比較(1＋1）（1＋）…（1＋）與的大小.

取n=1  有(1＋1）＞?

取n=2  有（1＋1）（1＋）＞，?

……?

由此推測(1＋1）（1＋）……（1＋）＞①?

 

若①式成立，則由對數函數性質可斷定：?

當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1??

 

當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1.?

 

下面用數學歸納法證明①式.?

 

(i)當n=1時已驗證①式成立.?

 

(ii）假設當n=k(k≥1)時，①式成立，?

 

即(1+1)(1+)……(1+)＞.

 

那么，當n=k+1時，

(1+1)(1+)……(1+)·(1+)＞(1+)

 

=(3k+2)

 

∵ =

 

∴(3k+2)＞=

 

因而(1+1)(1+)……(1+)(1+＞

 

這就是說①式當n=k+1時也成立.?

由(i)(ii)知，①式對任何自然數n都成立.由此證得：?

當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1

 

當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1

 

評述：該題是綜合題，主要考查等差數列、數學歸納法、對數函數的性質等基本知識，以及歸納猜想，等價轉化和代數式恒等變形的能力，相比之下，對能力的考查，遠遠高于對知識的考查.