Question

設橢圓方程為，過點M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當直線l繞點M旋轉時，求：
(1)動點P的軌跡方程；
(2) 的最大值和最小值

Answer 1

解：(1)直線l過定點M(0,1)，設其斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1.
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去y得(4＋k²)x²＋2kx－3＝0
因△＝4k²＋12(4＋k²)>0.
故方程(4＋k²)x²＋2kx－3＝0有兩個不同根
設，由題設可得：
又.消去k得
當斜率k不存在時，AB的中點是坐標原點，也滿足這個方程
故P點的軌跡方程為4x²＋y²－y＝0
(2)由(1)知              
∴
而
∴當x＝－時，取得最大值
當x＝時，取得最小值