Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=a_n+1-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式．（2）設…+b_n，求證：＜1

Answer 1

【答案】分析：（1）利用遞推關系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，可求通項a_n
（2）結合（1）可得，然后利用裂項求和求T_n即可證明．
解答：解：（1）∵a_n+1-S_n-1=0①∴n≥2時，a_n-S_n-1-1=0②
①-②得：（
由a_n+1-2S_n-1=0及a₁=1得a₂-S₁-1=0⇒a₂=S₁+1=a₁+1=2∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴a_n=2^n-1

（2）∵
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n===
∵0＜＜1，
所以＜1
點評：本題主要考查了利用結論：s_n=a₁+a₂+…+a_n，s_n-1=a₁+a+…+a_n-1（n≥2）是求解本題的關鍵，是進行數列“項”與“和”之間的轉化常用的公式，但要注意對n=1的檢驗．