Question

以F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0）為焦點的橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M（

2

，

30

3

），斜率為1的直線l與E相交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）
（1）求E的方程；
（2）求l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓焦點坐標，可知c=2

2

，利用橢圓的定義可求出a的值，再根據b²=a²-c²求出b的值，即可求出橢圓E的方程；
（2）設出直線l的方程和點A，B的坐標，聯立方程，消去y，根據等腰△PAB，求出直線l方程．

解答：解：（1）由已知得，c=2

2

，
又2a=MF₁+MF₂=4

3

解得a=2

3

，又b²=a²-c²=4，
所以橢圓E的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設直線l的方程為y=x+m，
由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中點為E（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=-

3m

4

，
y₀=x₀+m=

m

4

，
因為AB是等腰△PAB的底邊，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1，
解得m=2．
故l的方程為：y=x+2．

點評：此題是個中檔題．考查待定系數法求橢圓的方程和橢圓簡單的幾何性質，以及直線與橢圓的位置關系，同時也考查了學生觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．