Question

如圖，雙曲線-=1（a，b＞0）的兩頂點為A₁，A₂，虛軸兩端點為B₁，B₂，兩焦點為F₁，F₂．若以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，切點分別為A，B，C，D．則：
（Ⅰ）雙曲線的離心率e=    ；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁與矩形ABCD的面積S₂的比值=    ．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直線B₂F₁的方程為bx-cy+bc=0，所以O到直線的距離為，根據以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，可得，由此可求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁=2bc，求出矩形ABCD的長與寬，從而求出面積S₂=4mn=，由此可得結論．
解答：解：（Ⅰ）直線B₂F₁的方程為bx-cy+bc=0，所以O到直線的距離為
∵以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，
∴
∴（c²-a²）c²=（2c²-a²）a²
∴c⁴-3a²c²+a⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∵e＞1
∴e=
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁=2bc
設矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴
∵m²+n²=a²，∴，
∴面積S₂=4mn=
∴==
∵bc=a²=c²-b²
∴
∴=
故答案為：，
點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查雙曲線的性質，面積的計算，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系．