Question

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且A₁A與底面相鄰兩邊AB，AC所成的角都是45°.

（1）求證：A₁A⊥BC；

（2）求A₁A與底面ABC所成角的大小；

（3）若點(diǎn)A₁到平面BC₁的距離等于斜三棱柱的高的，求四棱錐A—BB₁C₁C的體積.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：過(guò)點(diǎn)A1作A1O⊥平面ABC于O，過(guò)O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F， 連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，連結(jié)A1E，A1F，則有A1E⊥AB，A1F⊥AC. 在Rt△A1EA和Rt△A1FA中，，又A1A為公共邊， ≌  在Rt△AEO和Rt△AFO中， AE=AF，AO為公共邊， ≌ 即AD為的平分線. 為正三角形，   平面ABC， 平面ABC，    （2）解：由（1）知AO為A1A在平面ABC上的射影， 為A1A與平面ABC所成的角. 設(shè)， . 在  與平面ABC所成的角為    （3）解：過(guò)A1作A1M⊥BB1于M，A1N⊥CC1于N，連結(jié)MN，取B1C1的中點(diǎn)為D1， 連結(jié)DD1交MN于H，則有Rt△A1MB1≌Rt△A1NC1，A1M=A1N. 　　    由（1）知BC⊥AA1.  　　　　 ∴平面四邊形BB1C1C為矩形. 　　       　　    又，∴平面A1MN⊥平面B1C.  又H為MN的中點(diǎn)， 　　     為點(diǎn)A1到平面B1C的距離. 　　    易求 　　    則.