Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

f(1)=-2 f′(1)=0

，解得即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出此區(qū)間上的極大值和極小值，再求出區(qū)間端點出的函數(shù)值，進(jìn)而求出該區(qū)間的最大值和最小值，則對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|≤c，求出即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），∴f^′（x）=3ax²+2bx-3．
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，∴切點為（1，-2）．
∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

，解得

a=1 b=0

．
∴f（x）=x³-3x．
（2）令f^′（x）=0，解得x=±1，列表如下：
由表格可知：當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值，且f（-1）=2；當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，且f（1）=-2．
又f（-2）═-2，f（2）=2．
∴f（x）=x³-3x在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值分別為2，-2．
∴對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=|2-（-2）|=4≤c．
即c得最小值為4．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值是解題的關(guān)鍵．