Question

設命題p：函數f（x）=2^|x-a|在區間（1，+∞）上單調遞增；命題q：a∈{y|y=

16-4x

，x∈R}，如果“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據復合函數單調性確定函數f（x）=2^|x-a|在區間（1，+∞）上單調遞增的實數a的取值范圍，求出其補集；再結合命題q為真時，求出a的范圍，最后結合復合命題的真假分情況討論后即可得到結論．

解答：解：∵函數f（x）=2^|x-a|的外函數y=2^u在其定義域R上為增函數
若函數f（x）=2^|x-a|在區間（1，+∞）上單調遞增
則內函數u=|x-a|在區間（1，+∞）也要為增函數
又∵u=|x-a|在區間[a，+∞）為增函數
∴（1，+∞）?[a，+∞）
即a≤1；
故若p為假命題時，a＞1；
命題q：a∈{y|y=

16-4x

，x∈R}，4^x＞0⇒16-4^x＜16⇒y=

16-4x

∈[0，4）．
∴a∈[0，4）．
q假時，a∈（-∞，0）∪[4，+∞）．
∵“p且q”是假命題，“p或q”是真命題
∴①p真q假，②p假q真；
當p真q假時⇒

a≤1 a≥4或a＜0

⇒a＜0；
當p假q真時，

a＞1 0≤a＜4

⇒1＜a≤4．
綜上：實數a的取值范圍為：（-∞，0）∪（1，4]．

點評：本題主要考查復合命題的真假以及復合函數的單調性的判定和指數函數值域的相關知識的綜合運用，關鍵是把兩個命題等價轉化．