Question

已知函數f（x）=ax-lnx，，它們的定義域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（ II）當a=1時，對任意x₁，x₂∈（0，e]，求證：
（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，問是否存在實數a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（ I）當a=1時，代入函數f（x）的解析式，求出其導數，利用導數求出它的單調區間，
（ II）當a=1時，對任意x₁，x₂∈（0，e]，要證明成立，只需要求出函數f（x）的最小值，與函數的最大值，用函數f（x）的最小值減去函數的最大值令它們的差與比較即可，
（ III）求得h（x）的解析式，對其求導，根據實數a的取值范圍研究函數的單調性，求出它的最小值，令其為3，解此方程求a的可能取值即可，若能求出，則說明存在，否則說明不存在．
解答：解：（ I） 當a=1時，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]
∴
令f'（x）＞0∴1＜x＜e令f'（x）＜0∴0＜x＜1
∴f（x）的單調增區間為（1，e），減區間為（0，1）
（ II）由（ I）知f（x）在（0，e]的最小值為f（1）=1
又g'（x）≥0在區間（0，e]上成立
∴g（x）在（0，e]單調遞增，故g（x）在區間（0，e]上有最大值
要證對任意x₁，x₂∈（0，e]，
即證
即證，即證e＞2.7
故命題成立
（ III）h（x）=f（x）-g（x）•x=ax-2lnx，x∈（0，e]
∴
（1）當a=0時，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，e]單調遞減，
故h（x）的最小值為h（e）=-2，舍去
（2）當a＞0時，由h'（x）＜0，得
①當時，，
∴h（x）在（0，e]單調遞減，故h（x）的最小值為h（e）=ae-2=3，
∴，舍去
②當時，，
∴h（x）在單調遞減，在單調遞增，
故h（x）的最小值為，，滿足要求
（3）當a＜0時，h'（x）＜0在（0，e]上成立，
∴h（x）在（0，e]單調遞減，故h（x）的最小值為h（e）=ae-2=3∴，舍去
綜合上述，滿足要求的實數
點評：本題考查利用導數研究函數在閉區間上的最值，求解此類問題的關鍵是求出其導數，利用導數研究清楚函數的單調性確定出函數的最值在那里取到，然后計算出其最值，求解本題正確轉化很關鍵，如第二小題中將問題轉化為最小值與最大值的差大于，第三問中令最小值等于3建立方程求參數的值，轉化化歸是數學中的一個重要數學思想，在高中數學解題中經常用到，要注意此思想在本題中應用方法與規律，作為以后解題的借鑒．本題中也用到了分類討論的思想，由此本題思維含量大，運算量大，解題難度較大，求解時要認真嚴謹，莫因馬虎致錯．