Question

已知函數f（x）=ax²-2x-3，
（Ⅰ）當a=1時，方程|f（x）|=m恰有4個解，求m的取值范圍．
（Ⅱ）已知

1

3

≤a≤1，若f（x）在區間[1，3]上的最大值為M（a），求M（a）的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，函數f（x）=ax²-2x-3，再由方程|f（x）|=m恰有4個解，可得函數y=|f（x）|的圖象和直線y=m有4個交點，數形結合可得m的范圍．
（Ⅱ）由于函數f（x）=ax²-2x-3的對稱軸為x=

1

a

，顯然1≤

1

a

≤3．再分①當1≤

1

a

＜2 時和②當2≤

1

a

≤3 時兩種情況，分別求得M（a）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，函數f（x）=ax²-2x-3
=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=（x-1）²-4，
再由方程|f（x）|=m恰有4個解，
可得函數y=|f（x）|的圖象和直線y=m有4個交點．
如圖所示：
故m的取值范圍為（0，4）．
（Ⅱ）由于函數f（x）=ax²-2x-3的對稱軸為x=

1

a

，
故由

1

3

≤a≤1，可得 1≤

1

a

≤3．
①當1≤

1

a

＜2 時，即

1

2

＜a≤1時，
由二次函數的性質可得f（x）在區間[1，3]上的最大值為M（a）=f（3）=9a-9，
②當2≤

1

a

≤3 時，即

1

3

≤a≤

1

2

時，
由二次函數的性質可得f（x）在區間[1，3]上的最大值為M（a）=f（1）=a-5．
綜上可得，M（a）=

9a-9  ， 1 2 ＜a≤1 a-5  ，  1 3 ≤a≤ 1 2

．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論、數形結合、等價轉化的數學思想，屬于中檔題．