Question

在球內有相距1 cm的兩個平行截面，截面面積分別是5π cm²和8π cm²，球心不在截面之間，求球面的面積．

Answer 1

球的表面積是36π cm²．

已知截面面積,也就能求出截面半徑．要求球的面積,只要求出球的半徑即可．設球的半徑為R,利用幾何關系,容易得到球心到兩截面的距離分別為和,由于球心不在截面之間,即兩截面在同一側,故這兩個距離相減即得到兩平面之間距離．

如圖，圓O是球的大圓，A₁B₁、A₂B₂分別是兩條平行于截面圓的直徑，過O作OC₁⊥A₁B₁于C₁，交A₂B₂于C₂．由于A₁B₁∥A₂B₂，所以OC₂⊥A₂B₂．由圓的性質可得，C₁和C₂分別是A₁B₁和A₂B₂的中點．
設兩平行平面的半徑分別為r₁和r₂，且r₁＜r₂，
依題意πr₁²=5π，πr₂²=8π，∴r₁²=5，r₂²=8．
∵OA₁和OA₂都是球的半徑R，
∴，．
∴．
解這個方程得R²=9，∴S_球=4πR²=36π(cm²)．
∴球的表面積是36π cm²．