Question

在三角形ABC中，角A、B、C及其對邊a，b，c滿足：ccosB=（2a-b）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）求函數y=2sin²B-cos2A的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦公式，結合和角的正弦公式化簡，即可求角C的大小；
（2）根據函數y=2sin²B-cos2A，化簡可得B的三角函數，即可求得函數的值域．

解答：解：（1）∵ccosB=（2a-b）cosC，
∴sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC
∴sin（C+B）=2sinAcosC，
∴sinA=2sinAcosC，
∴cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

；
（2）y=2sin²B-cos2A=2sin²B-cos[2（

2π

3

-B）]=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=1+sin（2B-

π

6

）
∵0＜B＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，
∴

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，
∴函數y=2sin²B-cos2A的值域為（

1

2

，2]．

點評：本題考查正弦定理的運用，考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，屬于中檔題．