Question

已知函數f（x）=a-．
（1）求證：函數y=f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據定義域確定函數，再選擇證明方法，不妨用定義法，則先在（0，+∞）上任取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號．
（2）先將“a-＜2x在（1，+∞）上恒成立”轉化為“a＜2x+，在（1，+∞）上恒成立”則只需a＜（2x+）_min即可．
解答：解：（1）證明：當x∈（0，+∞）時，f（x）=a-，
設0＜x₁＜x₂，則x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-）-（a-）=-
=＜0．∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（2）由題意a-＜2x在（1，+∞）上恒成立，
設h（x）=2x+，則a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可證h（x）在（1，+∞）上單調遞增．
故a≤h（1），即a≤3，∴a的取值范圍為（-∞，3]．
點評：本題主要考查函數單調性的證明和應用函數單調性解決恒成立問題，證明時，也用單調性定義也可以用導數法，應用時一般是求函數的最值．