Question

給出下列命題：
①函數f（x）=sinx+|sinx|（x∈R）的最小正周期是2π；
②已知函數f(x)=

acosx，x≥0 x2-1，x＜0

在x=0處連續，則a=-1；
③函數y=f（x）與y=1-f^-1（1-x）的圖象關于直線x+y+1=0對稱；
④將函數y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，與函數y=tan(ωx+

π

6

)的圖象重合，則ω的最小值為

1

6

，你認為正確的命題有：

 

．

Answer 1

分析：利用周期函數的定義或者絕對值的定義去掉絕對值判斷①中函數的周期、利用連續函數的定義列出關于字母a的方程、根據原函數與其反函數的關系，利用圖象之間的對稱性、利用圖象平移的知識解決本題是正確判斷該題的關鍵．注意對問題的正確轉化．

解答：解：根據絕對值的定義，得出f（x）=

2sinx，2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z 0，2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z

，可以判斷出該函數的最小正周期是2π，故①正確；
根據連續函數的定義，得出acos0=0-1?a=-1，故②正確；
函數y=f（x）與其反函數y=f^-1（x）關于直線y=x對稱，而y=f^-1（x）與y=1-f^-1（1-x）的圖象關于點（

1

2

，

1

2

）對稱，故函數y=f（x）與y=1-f^-1（1-x）的圖象關于直線x+y+1=0對稱是錯誤的，即③錯誤；
將函數y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后得到y=tan(ωx+

π

4

-

ωπ

6

)，由題意該函數與函數y=tan(ωx+

π

6

)是同一個函數，則有

π

4

-

ωπ

6

=

π

6

+kπ，解得ω=

1

2

-k，ω＞0，k∈Z，故ω的最小值為

1

2

，故④錯誤．
故答案為：①②．

點評：本題考查命題真假的判斷，考查學生對函數知識的理解和把握程度，判斷一個命題為真命題需要證明該命題的正確性，為假命題可以證明其為假命題或舉反例說明，考查學生的轉化與化歸能力．