Question

已知數列{an}：

1

2

，

1

3

+

2

3

，

1

4

+

2

4

+

3

4

，

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

，…，那么數列{bn}={

1

anan+1

}前n項的和為（　�。�

• A．4(1-

  1

  n+1

  )
• B．4(

  1

  2

  -

  1

  n+1

  )
• C．1-

  1

  n+1

• D．

  1

  2

  -

  1

  n+1

Answer 1

分析：先求得數列{a_n}的通項公式為a_n=

1

n+1

+

2

n+1

+

3

n+1

+…+

n

n+1

=

n

2

，繼而數列{bn}={

1

anan+1

}的通項公式為bn=

1

anan+1

=

2

n

•

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

），經裂項后，前n項的和即可計算．

解答：解：數列{a_n}的通項公式為a_n=

1

n+1

+

2

n+1

+

3

n+1

+…+

n

n+1

=

n(n+1)

2(n+1)

=

n

2

數列{bn}={

1

anan+1

}的通項公式為bn=

1

anan+1

=

2

n

•

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

）
其前n項的和為4[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=4(1-

1

n+1

)
故選A

點評：本題考查了數列求和的兩種方法：公式法和裂項相消法．屬于基礎題．