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已知點P為橢圓
x2
20
+
y2
15
=1上一點，A、B為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上不同的兩點，且
OP
=2
OA
+
OB
，若OA、OB所在的直線的斜率為k1、k2，則k1•k2=
-
3
4
-
3
4
．
分析：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．利用點與橢圓的關系可得
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，
x
2
0
20
+
y
2
0
15
=1．再利用向量的運算
OP
=2
OA
+
OB
，可得
x0=2x1+x2
y0=2y1+y2
，代入點P滿足的橢圓方程即可得出．
解答：解：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
則
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，
x
2
0
20
+
y
2
0
15
=1．
∵
OP
=2
OA
+
OB
，∴
x0=2x1+x2
y0=2y1+y2
，代入上述方程得
(2x1+x2)2
20
+
(2y1+y2)2
15
=1，
∴
4
5
(
x
2
1
4
+
y
2
1
3
)+
1
5
(
x
2
2
4
+
y
2
2
3
)+
4
5
(
1
4
x1x2+
1
3
y1y2)=1，
∴
4
5
+
1
5
+
4
5
(
1
4
x1x2+
1
3
y1y2)=1，
得
y1y2
x1x2
=-
3
4
．
故答案為-
3
4
．
點評：熟練掌握點與橢圓的關系、向量的運算與相等、斜率的計算公式等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓方程為C：
x2
2
+y2=1，它的左、右焦點分別為F1、F2．點P（x0，y0）為第一象限內的點．直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．
（1）求橢圓上的點與兩焦點連線的最大夾角；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．試找出使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的條件（用k1、k2表示）．
（3）又已知點E為拋物線y2=2px（p＞0）上一點，直線F2E與橢圓C的交點G在y軸的左側，且滿足
EG
=2
F2E
，求p的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•湖北模擬）已知點P（x0，y0）是橢圓E：
x2
2
+y2=1上任意一點x0y0≠1，直線l的方程為
x0x
2
+y0y=1
（I）判斷直線l與橢圓E交點的個數；
（II）直線l0過P點與直線l垂直，點M（-1，0）關于直線l0的對稱點為N，直線PN恒過一定點G，求點G的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•嘉定區三模）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1的左右焦點分別為F1、F2，橢圓的下頂點為A，點P是橢圓上任意一點，，圓M是以PF2為直徑的圓．
（1）若圓M過原點O，求圓M的方程；
（2）當圓M的面積為
π
8
時，求PA所在直線的方程；
（3）寫出一個定圓的方程，使得無論點P在橢圓的什么位置，該定圓總與圓M相切．請寫出你的探究過程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•盧灣區二模）如圖，已知點H（-3，0），動點P在y軸上，點Q在x軸上，其橫坐標不小于零，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：
x2
2
+y2=1，并將（2）中的定點取為焦點F（1，0），求與（2）相類似的問題的解．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓方程為C：
x2
2
+y2=1，它的左、右焦點分別為F1、F2．點P（x0，y0）為第一象限內的點．直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．
（1）求橢圓上的點與兩焦點連線的最大夾角；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．試找出使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的條件（用k1、k2表示）．
（3）又已知點E為拋物線y2=2px（p＞0）上一點，直線F2E與橢圓C的交點G在y軸的左側，且滿足
EG
=2
F2E
，求p的最大值．

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