Question

（本題滿分10 分）已知函數f(x)＝x³－ax²＋3x.

(1) 若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．

(2) 若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍；

 

Answer 1

【答案】

（1）最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15；（2）a≤3.

【解析】第一問中(1) f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x³－5x²＋3x，f′(x)＝3x²－10x＋3.令f′(x)＝0，得x₁＝3，x₂＝ (舍去)．當1＜x＜3時，f′(x)＜0，當3＜x＜5時，f′(x)＞0，即當x＝3時，f(x)的極小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.                

 (2)中 據已知：上恒成立，又f′(x)＝3x²－2ax＋3，且x≥1，

則a，∵     ∴a≤3

解：(1) f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x³－5x²＋3x，f′(x)＝3x²－10x＋3.令f′(x)＝0，得x₁＝3，x₂＝ (舍去)．當1＜x＜3時，f′(x)＜0，當3＜x＜5時，f′(x)＞0，即當x＝3時，f(x)的極小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.                

        6分

(2) 據已知：上恒成立，又f′(x)＝3x²－2ax＋3，且x≥1，

則a，∵     ∴a≤3.