Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC=16，PA=PC=10．
（Ⅰ）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；
（Ⅱ）證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．

Answer 1

分析：由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，O為AC的中點(diǎn)，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是兩兩垂直的三條直線，
因此可以考慮用空間向量解決：連接OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
對(duì)于（I），只需證明向量FG與平面BOE的一個(gè)法向量垂直即可，而根據(jù)坐標(biāo)，平面的一個(gè)法向量可求，從而得證；
對(duì)于（II），在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，課設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用FM⊥平面BOE求出M的坐標(biāo)，而其道OA、OB的距離就是點(diǎn)M 橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．

解答：證明：（I）如圖，連接OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F(xiàn)（4，0，3），（3分）
由題意得，G（0，4，0），因

OB

=(8，0，0)，

OE

=(0，-4，3)，
因此平面BOE的法向量為

n

=(0，3，4)，

FG

=(-4，4，-3）
得

n

•

FG

=0，又直線FG不在平面BOE內(nèi)，因此有FG∥平面BOE．（6分）
（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀，0），則

FM

=(x0-4，y0，-3)，
因?yàn)镕M⊥平面BOE，
所以有

FM

∥

n

，因此有x0=4，y0=-

9

4

，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，-

9

4

，0)（8分）
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組

x＞0 y＜0 x-y＜8

，
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，
所以在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，
由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)M到OA，OB的距離為4，

9

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的平行的判定以及距離問(wèn)題，建立了空間坐標(biāo)系，所有問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，使得問(wèn)題簡(jiǎn)單，解決此類問(wèn)題時(shí)要注意空間向量的使用．