Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，斜率為1的直線l與圓C相交于A，B兩點，AB的中點為M，O為坐標原點，若OM=

1

2

AB，則直線l的方程為

 

．

Answer 1

分析：先利用OM=

1

2

AB推斷出AO⊥BO，設出直線的方程代入圓的方程整理后，可利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用直線方程求得y₁y₂，進而利用x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，則直線的方程可得．

解答：解：∵OM=

1

2

AB
∴AO⊥BO，
設出直線方程為y=x+b，代入圓的方程整理得
2x²+4x+b²+4b-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2+4b-4

2

+（x₁+b）（x₂+b）=0，求得b=-4或1
∴直線的方程為：x-y+1=0或x-y-4=0．
故答案為：x-y+1=0或x-y-4=0．

點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質．一般是利用平面幾何的性質，采用數形結合的方法來解決問題呢．