Question

11、已知f（x）=3^x-b（2≤x≤4，b為常數）的圖象經過點（2，1），則F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域為

[2，10]

．

Answer 1

分析：由f（x）=3^x-b（2≤x≤4，b為常數）的圖象經過點（2，1），可求出b的值，再求出f（x）的反函數，整理出F（x）的解析式，利用換元法求最值即可．

解答：解：由題意：f（2）=3^2-b=1，所以b=2，所以f（x）=3^x-2，所以f^-1（x）=2+log₃x，
因為f（x）中2≤x≤4，所以2＜f^-1（x）＜4，所以0＜log₃x＜2
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=（2+log₃x）²-2-log₃x²=（log₃x）²+2log₃x+2
因為0＜log₃x＜2，所以F（x）∈[2，10]
故答案為：[2，10]

點評：本題考查求函數的反函數、換元法求函數的值域等知識，難度一般．反函數在新教材中的要求：了解同底的指對函數互為反函數即可．