Question

【題目】我邊防局接到情報，在海礁所在直線的一側點處有走私團伙在進行交易活動，邊防局迅速派出快艇前去搜捕：如圖，已知快艇出發位置在的另一側碼頭處，公里，公里，；

（1）是否存在點，使快艇沿航線或的路程相等；如存在，則建立適當的直角坐標系，求出點的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形；如不存在，請說明理由；

（2）問走私船在怎樣的區域上時，路線比路線的路程短，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）存在，（2）走私船在直線 上側，且在（1）中曲線的左側的區域時，路線最短.

理由：設 的延長線與（1）中曲線交于點 ，則，.

【解析】

（1）建立平面直角坐標系，根據題意有，再利用雙曲線的定義求解.

（2）延長 與（1）中曲線交于點 ，可得 ，再結合兩邊之差小于第三邊，比較 與的大小.

（1）存在.

建立如圖所示的坐標系，

根據題意得，

所以 的軌跡是雙曲線的右支，

因為 ，

所以

所以 的軌跡方程為 .

（2）走私船在直線 上側，且在（1）中曲線的左側的區域時，路線最短.

理由：設 的延長線與（1）中曲線交于點 ，則 , ．