Question

我國發射的天宮一號飛行器需要建造隔熱層．已知天宮一號建造的隔熱層必須使用20年，每厘米厚的隔熱層建造成本是6萬元，天宮一號每年的能源消耗費用C（萬元）與隔熱層厚度x（厘米）滿足關系式：C(x)=

k

3x+5

(0≤x≤10)，若無隔熱層，則每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與使用20年的能源消耗費用之和．
（I）求C（x）和f（x）的表達式；
（II）當陋熱層修建多少厘米厚時，總費用f（x）最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：（I）根據關系式：C(x)=

k

3x+5

(0≤x≤10)，無隔熱層，則每年能源消耗費用為8萬元，可求C（x），利用f（x）為隔熱層建造費用與使用20年的能源消耗費用之和，可求函數關系式；
（II）利用基本不等式，即可求得函數的最小值．

解答：解：（I）當x=0時，C=8，因為C(x)=

k

3x+5

(0≤x≤10)，所以k=40，故C(x)=

40

3x+5

…（3分）
∵f（x）為隔熱層建造費用與使用20年的能源消耗費用之和
∴f(x)=6x+

20×40

3x+5

=6x+

800

3x+5

(0≤x≤10)．…（6分）
（II）f(x)=6x+

800

3x+5

=2(3x+5)+

800

3x+5

-10≥2

1600

-10=70，…（9分）
當且僅當6x+10=

800

3x+5

，即x=5時取得最小值．…（11分）
即隔熱層修建5厘米厚時，總費用達到最小值，最小值為70萬元．…（12分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求函數的最值，考查學生的閱讀能力，建立函數模型是關鍵．