Question

設f(x)是定義在[-1，1]上的偶函數，g(x)與f(x)的圖象關于直線x－1＝0對稱．且當x∈[2，3]時，g(x)＝2a·(x－2)－4(x－2)³(a為實數)

（1）求函數f(x)的表達式；

（2）在a∈(2，6]或(6，＋∞)的情況下，分別討論函數f(x)最大值，并指出a為何值時，f(x)的圖像的最高點恰好落在直線y＝12上．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　　(2) 當時，f(x)的最大值為，當時，f(x)的最大值為f(±1)＝2a－4．并且，當a＝8時，函數f(x)的圖像的最高點恰好落在直線y＝12上． （1）當時，，由于g(x)與f(x)的圖象關于直線x－1＝0對稱，所以， 當時，，由f(x)為偶函數，可知： 所以，． （2）不妨在區間上任取，設，則 如果,則，故<0，即f(x)在區間[0，1]上單調遞增．所以，f(x)的最大值在取得，為f(1)＝2a－4． 令f(1)＝2a－4＝12可解得：a＝8 如果，則的符號不能確定，為確定f(x)的單調區間，可令<0 由于x1＜x2，要使上式成立，只需：，即，由此不難得知： f(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．（證明略） 所以，f(x)在區間[－1，1]上的最大值為． 令=12，解之得：，與 矛盾． 綜上可知：當時，f(x)的最大值為，當時，f(x)的最大值為． 并且，當a＝8時，函數f(x)的圖像的最高點恰好落在直線y＝12上．

提示：

(1)注意到g(x)是定義在區間[2，3]上的函數，因此，根據對稱性，我們只能求出f(x)在區間[－1，0]上的解析式，f(x)在區間[0，1]上的解析式，則可以根據函數的奇偶性去求． (2)因為f(x)為偶函數，所以，f(x)(－1≤x≤1)的最大值，必等于f(x)在區間[0，1]上的最大值．故只需考慮0≤x≤1的情形，此時，f(x)＝－4x3＋2ax．對于這個三次函數，要求其最大值，比較容易想到的方法是：考慮其單調性．