Question

（2012•西山區模擬）自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

Answer 1

分析：根據MA為圓O的切線，由切割線定理得MA²=MB•MC．從而MP²=MB•MC．依據相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．

解答：選修4-1：幾何證明選講，
解：因為MA是圓O的切線，所以MA²=MB•MC（2分）
又M是PA的中點，所以MP²=MB•MC
因為∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC（6分）
于是∠MPB=∠MCP，
在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，
即 100°+2∠MPB+40°=180°；
得∠MPB=20°（10分）

點評：本題考查了圓當中的比例線段，以及三角形相似的有關知識點，屬于中檔題．找到題中的相似三角形來得到角的相等，是解決本題的關鍵．