Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上有n個(gè)不同的點(diǎn)P₁，P₂，…，P_n，橢圓的右焦點(diǎn)為F，記a_n=|P_nF|，若數(shù)列{a_n}是公差不小于

1

100

的等差數(shù)列，則n的最大值為

 

．

Answer 1

分析：先求出等差數(shù)列|P_nF|的首項(xiàng)與末項(xiàng)，用含n的式子表示公差d，再根據(jù)數(shù)列|P_nF|是公差不小于

1

100

的等差數(shù)列，求出n的范圍，可得最大值．

解答：解：在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2，c=1
∵橢圓上點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離是a-c=1，最大距離是a+c=3，
∵數(shù)列|P_nF|是公差不小于

1

100

的等差數(shù)列，
∴P₁F=a-c=1，P_nF=a+c=3，
∴公差d=

PnF-P1F

n-1

=

3-1

n-1

=

2

n-1

又∵數(shù)列|P_nF|是公差不小于等差數(shù)列．
∴d≥

1

100

，即

2

n-1

≥

1

100

，解得n≤201．
∴n的最大值為201
故答案為：201

點(diǎn)評(píng)：本題借助圓錐曲線的知識(shí)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬中檔題．