Question

在曲線y=x²(x≥0)上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為，試求：

（1）切點A的坐標；

（2）過切點A的切線方程.

Answer 1

解：設切點A（x₀,x₀²）,切線斜率為k=y′|_x=x0=2x₀,

∴切線方程為y-x₀²=2x₀(x-x₀),即y=2xx₀-x₀².

令y=0,得x=.

畫圖分析,可知S=

∴

∴x₀=1.

∴切點為（1，1），切線方程為y=2x-1.

綠色通道:表示曲邊梯形面積的要點：（1）定好積分的上、下限；（2）確定被積函數f(x)-g(x),其中f(x)是上曲邊的曲線方程，g(x)是下曲邊的曲線方程；（3）當曲線方程不是一個解析式時，應分段計算.