Question

在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中右焦點F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設E(0，

1

2

)，是否存在斜率為k （k≠0）的直線l與橢圓C₁交于A、B兩點，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據右焦點F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，且|MF₂|=

5

3

，可求出F₂，根據拋物線的定義可求得點M的橫坐標，并代入拋物線方程，可求其縱坐標；把點M代入橢圓方程，以及焦點坐標，解方程即可求得橢圓C₁的方程；
（2）設AB中點P（x₀，y₀）和直線l的方程為y=kx+m（k≠0），由|AE|=|BE|等價于PE⊥AB，聯立直線和橢圓方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理和△＞0即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）由已知|MF2|=xm+1=

5

3

得xm=

2

3

代入y²=4x 得ym=

2 6

3

，
即M(

2

3

，

2 6

3

)代入橢圓方程

4

9a2

+

24

9b2

=1
又1=a²-b² 解得a²=4，b²=3，
故橢圓C₁的方程為

x2

4

+

b2

3

=1
（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），
代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1•x2=

4m2-12

3+4k2

．
直線l與橢圓C，有兩個不同公共點的充要條件是△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即4k²-m²+3＞0（*）
設AB中點P（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=

-4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，
|AE|=|BE|等價于PE⊥AB，
即

EP

•

AB

=0，

EP

=(x0，y0-

1

2

)=(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

-

1

2

)
（1，k）為

AB

的一個方向向量，故-

4km

3+4k2

+

3mk

3+4k2

-

1

2

k=0，∴m=

-(3+4k2)

2

，
代入（*）得3+4k2-

(3+4k2)2

4

＞0，∵3+4k²≠0，∴4-（3+4k²）＞0，故k2＜

1

4

-

1

2

＜k＜

1

2

，
因此存在合條件的直線l，其斜率k的范圍為(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)．

點評：此題是個難題．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質，待定系數法求橢圓的標準方程，以及直線和橢圓相交中的有關中點弦的問題，綜合性強，特別是問題（2）的設問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交，△＞0．體現了數形結合和轉化的思想方法．