Question

設y=f（x）為三次函數，且圖象關于原點對稱，當x=

1

2

時，f（x）的極小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：當x∈（1，+∞）時，函數f（x）圖象上任意兩點的連線的斜率恒大于0．

Answer 1

（Ⅰ）設f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）
∵其圖象關于原點對稱，即f（-x）=-f（x）
得-ax³+bx²-cx+d=-ax³-bx²-cx-d
∴b=d=0，
則有f（x）=ax³+cx
由f′（x）=3ax²+c，依題意得f′（

1

2

）=0
∴

3

4

a+c=0①
f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式為：f（x）=4x³-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x²-3＞0
解得：x＞

1

2

或x＜-

1

2

（8分）
∵（1，+∞）?（

1

2

，+∞）
∴x∈（1，+∞）時，函數f（x）單調遞增；（10分）
設（x₁，y₁），（x₂，y₂）是x∈（1，+∞）時，
函數f（x）圖象上任意兩點，
且x₂＞x₁，則有y₂＞y₁
∴過這兩點的直線的斜率k=

y2-y1

x2-x1

＞0．（12分）