Question

已知在長方體AC′中，且AA′=1，AB=AD=2，
（1）求三棱錐A-A'BD的體積；
（2）若M，N分別是AD，BC的中點，求棱柱D′DM-C′CN的體積；
（3）求該長方體外接球的表面積．

Answer 1

分析：（1）根據三棱錐A-A'BD的體積公式，進行求解即可；
（2）根據錐體的體積公式即可求棱柱D′DM-C′CN的體積；
（3）根據長方體的體對角線和外接球半徑之間的關系即可求球的表面積．

解答：解：（1）由長方體的性質知，三棱錐A'-ABD的高為AA'，
∴V三棱錐A′-ABD=

1

3

S△ABDAA′=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

，
（2）由長方體的性質知，DC為棱柱D'DM-C'CN的高，
又M，N分別為AD，AC的中點，
∴S△NCC′=

1

2

NC×CC′=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴棱柱D'DM-C'CN的體積為

1

2

×2=1．
（3）由長方體的性質知，長方體的體對角線為其外接球的直徑，
又A'C²=A'A²+AC²=A'A²+AB²+AD²=1²+2²+2²=9，
∴A'C=3，所以外接球的半徑為

3

2

，
故該長方體外接球的表面積為9π．

點評：本題主要考查三棱錐的體積的計算，以及長方體的體對角線和球外接球的直徑之間的關系是解決本題的關鍵．