Question

定義函數f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，當x∈[0，n）（n∈N^*）時，設函數f（x）的值域為A，記集合A中的元素個數為a_n，則式子[

an+90

n

]的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進而得到

an+90

n

，用基本不等式求解．

解答：解：根據題意：[x]=

0  x∈[0，1) 1  x∈[1，2)   n-1 x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0  x∈[0，1) x  x∈[1，2)   (n-1)x  x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各區間中的元素個數是：1，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

+1
∴

an+90

n

=

1

2

(n+

180

n

-1)，所以當n=13或14時，最小值為13．
故答案為：13

點評：本題主要通過取整函數來建立新函數，進而研究其定義域和值域．