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如圖，A，B是橢圓C：數學公式的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若數學公式，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

解：（1）由題意：，解得．∴橢圓C的方程為． …（6分）
（2）設，
∵A，M，P三點共線，∴，∴，…（9分）
∴=，
∴c2+ac-a2=0
∴e2+e-1=0，解得．…（16分）
分析：（1）由，右準線l的方程為x=4，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）根據題意，可得A，M，P三點共線，MQ⊥PQ，由此可得幾何量之間的關系，從而可求離心率．
點評：本題考查橢圓的幾何性質與標準方程，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，橢圓C的離心率為
1
2
，右準線l的方程為x=4．
（I）求橢圓的方程；
（II）設M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓記為⊙k．
（i）若M恰好是橢圓C的上頂點，求⊙k截直線PB所得的弦長；
（ii）設⊙k與直線MB交于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求該定點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，若橢圓C的離心率為
1
2
，且右準線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交直線MB于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求出R點的坐標．

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科目：高中數學 來源：《圓錐曲線與方程》2013年高三數學一輪復習單元訓練（北京郵電大學附中）（解析版） 題型：解答題

如圖，A，B是橢圓C：的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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