Question

在直角坐標平面上有一點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對一切正整數n，點P_n在函數的圖象上，且P_n的橫坐標構成以為首項，﹣1為公差的等差數列{x_n}．
（1）求點P_n的坐標；
（2）設拋物線列，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點為P_n，且過點D_n（0，n²+1）．記與拋物線C_n相切于點D_n的直線的斜率為k_n，求；
（3）設S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差數列{a_n}的任一項a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大數，﹣265＜a₁₀＜﹣125，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，
∴設C_n的方程為．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|x=0=2n+3，
∴，
∴==．
（3）T={y|y=﹣（12n+5），n∈N*}={y|y=﹣2（6n+1）﹣3，n∈N*}，
∴S∩T=T，T中最大數a₁=﹣17．
設{a_n}公差為d，則a₁₀=﹣17+9d∈（﹣265，﹣125．）
由此得．
又∵a_n∈T．∴d=﹣12m（m∈N*）
∴d=﹣24，
∴a_n=7﹣24n（n∈N*，n≥2）．