Question

知圓C₁的方程為(x－2)²+(y－1)²=,橢圓C₂的方程為=1(a＞b＞0)，C₂的離心率為，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，求直線AB的方程和橢圓C₂的方程.

Answer 1

橢圓方程為=1.

由e=,可設橢圓方程為=1,
又設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,
又=1,兩式相減，得=0,
即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.
化簡得=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,
代入橢圓方程得3x²－12x+18－2b²=0.
有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,
得，解得b²=8.
故所求橢圓方程為=1.