Question

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E、D，連結EC、CD.

（Ⅰ）求證：直線AB是⊙O的切線；

（Ⅱ）若tan∠CED=，⊙O的半徑為3，求OA的長.

 

Answer 1

【答案】

分10分）

解：（Ⅰ）如圖，連接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB

∴AB是⊙O的切線…………4分

（Ⅱ）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E

又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC

∴  ∴BC²=BD•BE

∵tan∠CED=,∴

∵△BCD∽△BEC, ∴…………8分

設BD=x,則BC=2x

又BC²=BD•BE，∴(2x)²=x•(x+6)

解得：x₁=0,x₂=2, ∵BD=x>0, ∴BD=2

∴OA=OB=BD+OD=3+2=5…………10分

 

【解析】略