Question

定義：如果在一圓上恰有四個點到一直線距離等于1，那么這條直線叫做這個圓的“相關直線”．
下列直線：①y=1；②3x-4y+12=0；③2x+y=0；④12x-5y-17=0
其中是圓（x+1）²+（y-2）²=4“相關直線”的是

②③

 （只填序號）

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標與半徑r，根據題中的新定義及圓的半徑為1，得到圓心到直線的距離小于1時，圓上恰有四個點到一直線距離等于1，那么這條直線叫做這個圓的“相關直線”；當圓心到直線的距離大于等于1時，圓上不是有四個點到這一直線距離等于1，即此時直線不能稱為這個圓的“相關直線”，故利用點到直線的距離公式分別求出圓心到各直線的距離d，用d與1比較大小，即可得到圓“相關直線”的條數．

解答：解：由圓（x+1）²+（y-2）²=4，得到圓心坐標為（-1，2），半徑r=2，
①圓心到直線y=1的距離d=1，故圓上有三個點到直線y=1的距離等于1，
∴直線y=1不是圓的“相關直線”；
②圓心到直線3x-4y+12=0的距離d=

1

5

＜1，故圓上恰有四個點到直線3x-4y+12=0距離等于1，
∴直線3x-4y+12=0為圓的“相關直線”；
③圓心到直線2x+y=0的距離d=

0

5

=0＜1，故圓上恰有四個點到直線2x+y=0距離等于1，
∴直線2x+y=0為圓的“相關直線”；
④圓心到直線12x-5y-17=0的距離d=

39

13

=3＞1，故圓上有兩個點到直線12x-5y-17=0的距離等于1，
∴直線12x-5y-17=0不是圓的“相關直線”，
綜上，選項中為圓的“相關直線”的是②③．
故答案為：②③

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，屬于新定義的題型，涉及的知識有：點到直線的距離公式，以及圓的標準方程，利用了轉化的思想，其中把新定義直線稱為圓的“相關直線”轉化為圓心到直線的距離小于1是解本題的關鍵．