Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結A₁B、A₁P（如圖2）。

（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小；
（3）求二面角B-A₁P-F的大�。ㄓ梅慈�角函數表示）。

Answer 1

解：不妨設正三角形ABC的邊長為3。 （1）在圖1中，取BE的中點D，連結DF。 ∵AE：EB=CF：FA=1：2， ∵AF=AD=2，而∠A=60°， ∴△ADF是正三角形。 又AE=DE=1， ∴EF⊥AD 在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角。 由題設條件知此二面角為直二面角， ∴A1E⊥BE。 又BE∩EF=E， ∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP。 （2）在圖2中，∵A1E不垂直于A1B， ∴A1E是平面A1BP的斜線。 又A1E⊥平面BEP， ∴A1E⊥BP， 從而BP垂直于A1E在平面A1BP內的射影（三垂線定理的逆定理）。 設A1E在平面A1BP內的射影為A1Q，且A1Q交BP于點Q， 則∠EA1Q就是A1E與平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。 在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60°， ∴△EBP是等邊三角形， ∴BE=EP 又A1E⊥平面BEP， ∴A1B=A1P， ∴Q為BP的中點，且。 又A1E=1， 在Rt△A1EQ中， ∴∠EA1Q=60° 所以直線A1E與平面A1BP所成的角為60°。

（3）在圖3中，過F作FM⊥A1P于M，連結QM，QF。 ∵CF=CP=1，∠C=60°， ∴△FCP是正三角形， ∴PF=1 又 ∴PF=PQ。 ① ∵A1E⊥平面BEP， ∴A1F=A1Q； ∴△A1FP≌△A1QP 從而∠A1PF=∠A1PQ ② 由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， 從而∠FMQ為二面角B-A1P-F的平面角。 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴ ∵MQ⊥A1P ∴ ∴ 在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°， 由余弦定理得QF=。 在△FMQ中 ∴二面角B-A1P-F的大小為。