Question

【題目】已知函數， （為常數）.

（1）函數的圖象在點處的切線與函數的圖象相切，求實數的值；

（2）若函數在定義域上存在單調減區間，求實數的取值范圍；

（3）若， ，且，都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析: (1)求出函數的圖象在點的切線方程,再由直線與拋物線相切, ,求出實數的值; (2)由題意構造函數 ,求出, 在上有解,再由二次函數相關知識求出的范圍; (3)假定 ,先分別求出函數在上的單調性,將原不等式轉化為,即在上為增函數,求出實數的范圍.

試題解析:（1）因為，所以，因此，

所以函數的圖象在點處的切線方程為，

由得.

由，得.

（還可以通過導數來求）

（2）因為 ，

所以，

由題意知在上有解，

因為，設，因為，

則只要解得，

所以的取值范圍是.

（3）不妨設，

因為函數在區間上是增函數，

所以，

函數圖象的對稱軸為，且.

當時，函數在區間上是減函數，

所以，

所以，

等價于，

即，

等價于 在區間上是增函數，

等價于在區間上恒成立，

等價于在區間上恒成立，所以，又，所以.

點睛: 本題主要考查導數的應用,包括導數的幾何意義,導數與單調性,屬于中檔題.本題在第3問中注意解題思想:等價轉換,將原不等式轉化為求在上為增函數,等價于在區間上恒成立,分離出,轉化為求在上的最小值.