Question

已知正四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的正方形，高為．M為線段PC的中點．

(Ⅰ)求證：PA∥平面MDB；

(Ⅱ)N為AP的中點，求CN與平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：在四棱錐P－ABCD中，連結AC交BD于點O，連結OM，PO．由條件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝． 　　因為在△PAC中，M為PC的中點，O為AC的中點， 　　所以OM為△PAC的中位線，得OM∥AP， 　　又因為AP平面MDB，OM平面MDB， 　　所以PA∥平面MDB．　6分 　　(Ⅱ)解：設NC∩MO＝E，由題意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°． 　　因為M為PC的中點，所以PC⊥BM， 　　同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD． 　　所以直線CN在平面BMD內的射影為直線OM，∠MEC為直線CN與平面BMD所成的角， 　　又因為OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC． 　　在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝， 　　故直線CN與平面BMD所成角的正切值為2．　14分

提示：

本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力．滿分14分．