Question

如圖，已知圓心坐標為（，1）的圓M與x軸及直線y=x分別相切于A，B兩點，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y=x分別相切于C、D兩點．
（1）求圓M和圓N的方程；
（2）過點B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度．

Answer 1

解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半
徑，則M在∠BOA的平分線上，
同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為∠BOA
的平分線，
∵M的坐標為（，1），∴M到x軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，
則⊙M的方程為，（4分）
設⊙N的半徑為r，其與x軸的切點為C，連接MA，NC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即得r=3，
則OC=，則⊙N的方程為；（8分）
（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被⊙N截得的弦的長度，
此弦的方程是，即：x--=0，
圓心N到該直線的距離d=，則弦長=2．
分析：（1）圓M的圓心已知，且其與與x軸及直線y=x分別相切于A，B兩點，故半徑易知，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y=x分別相切于C、D兩點，由相似性易得其圓心坐標與半徑，依定義寫出兩圓的方程即可．
（2）本題研究的是直線與圓相交的問題，由于B點位置不特殊，故可以由對稱性轉化為求過A點且與線MN平行的線被圓截得弦的長度，下易解．
點評：本題考查直線與圓的位置關系以及直線與圓相交的性質，屬于直線與圓的方程中綜合性較強的題型，題后注意題設中條件轉化的技巧．