Question

數列{a_n}滿足an+1=

2an     (0≤an≤1) an-1    (an＞1)

且a1=

6

7

，則a₂₀₁₂=

12

5

．

Answer 1

分析：數列實質是函數，題目給出的遞推式是分段的，可以理解為給出了分段函數表達式f(n+1)=

2f(n)  (0≤f(n)≤1) f(n)-1  (f(n)＞1)

經計算發現，該數列中的項以5為周期成周期出現，則運用周期函數性質可求a₂₀₁₂的值．

解答：解：數列遞推式轉化為分段函數表達式f(n+1)=

2f(n)  (0≤f(n)≤1) f(n)-1  (f(n)＞1)

，
則f(1)=a1=

6

7

，f(2)=2a1=2×

6

7

=

12

7

，f（3）=a2-1=

12

7

-1=

5

7

，f（4）=2a3=2×

5

7

=

10

7

，
f（5）=a4-1=

10

7

-1=

3

7

，f（6）=2a5=

6

7

=f（1）．
所以以下該數列中的項以5為周期出現，則運用周期函數性質可求a₂₀₁₂的值．
則a₂₀₁₂=f（2012）=f（402×5+2）=f（2）=a₂，而a2=2a1=

12

7

，所以a2012=

12

5

．
故答案為

12

5

．

點評：本題考查了數列的函數特性，解答的關鍵是明確數列實質，寫出與數列對應的函數，借助函數周期性求解．