Question

已知圓C：x²+y²=5m²（m＞0），直線l過點M（-m，0）且與圓C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）如果直線l的斜率為1，且|AB|=6，求m的值；
（Ⅱ）設直線l與y軸交于點P，如果|

PA

|=2|

PM

|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（I）由題意得直線l的方程為x-y+m=0，利用點到直線的距離公式算出圓C的圓心到l直線的距離為d=

|m|

2

=

m

2

．再根據|AB|=6利用垂徑定理建立關于m的方程，解之可得m=

2

．
（II）設A（x₁，y₁）、直線l：y=k（x+m），由|

PA

|=2|

PM

|可得

PA

=2

PM

或

PA

=-2

PM

，利用向量的坐標運算得到點A坐標關于k、m的式子，結合點A在圓C上得到關于k、m的方程組，解之可得直線l的斜率k的值．

解答：解：（I）∵直線l過點M（-m，0）且斜率為1，
∴直線l的方程為y=x+m，即x-y+m=0，
圓C：x²+y²=5m²（m＞0）的圓心為（0，0），半徑r=

5

m，
可得圓心到l直線的距離為d=

|m|

2

=

m

2

．
∵直線l被圓截得的弦長|AB|=6，
∴由垂徑定理，得5m2-(

|m|

2

)2=(

1

2

|AB|)2=9，
解之得m²=2，結合m＞0，得m=

2

．
（II）設A（x₁，y₁），直線l：y=k（x+m），可得點P（0，km）．
∵|

PA

|=2|

PM

|，∴

PA

=2

PM

或

PA

=-2

PM

，
①當

PA

=2

PM

時，（x₁，y₁-km）=2（-m，-km），可得x₁=-2m，y₁=-km．
由方程組

x 2 1 + y 2 1 =5m2 x1=-2m y1=-km

，解之得k=±1；
②當

PA

=-2

PM

時，利用類似①的方法列式，解得k=±

1

3

．
綜上所述，滿足條件的直線l的斜率為±1或±

1

3

．

點評：本題給出直線與圓相交，在滿足向量等式的情況下求直線的斜率．著重考查了直線的基本量與基本形式、向量的坐標運算和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．