Question

設M_n={（十進制）n位純小數0.

.

a1a2…an

|a_i只取0或1（i=1，2，…，n-1），a_n=1}，T_n是M_n中元素的個數，S_n是M_n中所有元素的和，則

lim

n→∞

Sn

Tn

=

1

18

．

Answer 1

分析：根據a_i只取0或1（i=1，2，…，n-1），可求M_n中元素的個數；在每一位（從第一位到第n-1位）小數上，數字0與1各出現2^n-2次，第n位則1出現2^n-1次，可求S_n，由此可得結論．

解答：解：由于a_i只取0或1（i=1，2，…，n-1），T_n是M_n中元素的個數，所以T_n=2^n-1；
在每一位（從第一位到第n-1位）小數上，數字0與1各出現2^n-2次，第n位則1出現2^n-1次
∴S_n=2^n-2×0.11…1+2^n-1×10^-n，
∴

lim

n→∞

Sn

Tn

=

1

2

×

0.1

1-0.1

=

1

2

×

1

9

=

1

18

故答案為：

1

18

．

點評：本題考查數列的極限，考查等差數列的求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．