Question

S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=

π

2

，M，N分別是AB和SC的中點，則異面直線SM與BN所成角的余弦值為（　　）

• A．

  10

  5

• B．

  15

  5

• C．

  10

  10

• D．

  3 10

  10

Answer 1

分析：連接MC，取MC中點為Q，連接NQ，BQ，則NQ和SM平行，∠QNB（或其補角）即為SM和BN所成的角，利用余弦定理可得結論．

解答：解：連接MC，取MC中點為Q，連接NQ，BQ
則NQ和SM平行，∠QNB（或其補角）即為SM和BN所成的角．
設SA=SB=SC=a，則AB=BC=CA=

2

a
因為∠ASB=∠BSC=∠CSA=

π

2

，△ABC是正三角形，M、N、Q是中點
所以：NQ=

1

2

SM=

2

4

a，MC=

6

2

a，QB=

14

4

a，NB=

5

2

a
∴cos∠QNB=

QN2+BN2-BQ2

2QN•BN

=

10

5

∴異面直線SM與BN所成角的余弦值為

10

5

故選A．

點評：本題考查線線角，考查余弦定理，考查學生的計算能力，正確作出線線角是關鍵．