Question

設虛數z₁，z₂滿足z₁²=z₂.

（1）若z₁、z₂是一個實系數一元二次方程的兩個根，求z₁、z₂；

（2）若z₁=1+mi（m＞0，i為虛數單位），ω=z₂－2，ω的輻角主值為θ，求θ的取值范圍.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）因為z1、z2是一個實系數一元二次方程的兩個根，所以z1、z2是共軛復數. 設z1=a+bi（a，b∈R且b≠0），則z2=a－bi 于是（a+bi）2=（a－bi），于是 解得或 ∴ （2）由z1=1+mi（m＞0），z12=z2得z2=（1－m2）+2mi ∴ω=－（1+m2）+2mi tanθ=－ 由m＞0，知m+≥2，于是－1≤tanθ≤0 又 －（m2+1）＜0，2m＞0，得π≤θ＜π 因此所求θ的取值范圍為［π，π）.